Per semplificarci la vita (come vedrete, viene complicata già così), consideriamo solo due $asset$: il nostro mercato finanziario ha a disposizione un conto in banca $\textbf{B}$ e un pacchetto azionario $\textbf{S}$. Se supponiamo che il nostro $portfolio$ sia composto da entrambi gli asset nella proporzione di $x_0$ soldi in banca e $x_1$ in azioni possiamo descriverne l’evoluzione temporale nello spazio $\overrightarrow{P} = (B,S)$ come un $vettore$ $dei$ $prezzi$ rappresentato da $\overrightarrow{x(t)} = (x_0(t)\ ,\ x_1(t))$; si noti che, in questa notazione, $x_i<0$ significa che state “andando corti”, nel senso che vi fate prestare qualcosa (soldi o azioni: dipende dall’indice) dal mercato. Il valore monetario del nostro portfolio, sottintendendo la dipendenza dal tempo dei vari termini, diventa: $V_\overrightarrow{x} = \overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{S} = x_0B + x_1S$ Un portfolio da cui non si fanno prelievi e in cui non si mettono soldi è detto $auto$$finanziato$; in pratica, qui le variazioni dipendono solo dalla variazioni degli asset: volendo essere più precisi, un portfolio è auto-finanziato se la sua dinamica per qualsiasi $t\ge0$ è descritta da: $dV_\overrightarrow{x}(t) = \overrightarrow{x(t)}\cdot d\overrightarrow S(t)$. Che deriva dal considerare un tempo continuo piuttosto che discreto: in sostanza, supponiamo ci sia una continua compravendita (a guadagno zero) del nostro pacchetto azionario per poterne trasformare il valore in soldi; inoltre se nel processo, come in tutti i processi, vi limitate a tenere conto dei valori attuali e futuri e ignorate i valori pregressi, siete autorizzati a chiamarlo $markoviano$. Cerchiamo di capire cosa significhi, in questo modello, l’arbitraggio. Ci facciamo prestare dal mercato qualche azione sicuri che quantomeno manterrà il suo valore e sperando che in qualche momento aumenti: formalmente, abbiamo: $$\left\{\begin{aligned}&V(0) = 0 \\& \forall t > 0, P(V(t)\ge 0) = 1 \\ & \exists T > 0: P(V(t) > 0) >0\end{aligned}\right.$$
Ossia in parole povere: 1) partite senza un euro, 2) o con il deposito in banca o attraverso l’arbitraggio, nella peggiore delle ipotesi vi restano gli stessi soldi, 3) se azzeccate il tempo giusto (il $tempo$ $di$ $arbitraggio^1$) ci sono buone probabilità di guadagnarci.. Raggiunta la tranquillità economica, possiamo occuparci di teoria; cambiamo completamente discorso. Lavoreremo molto per definizioni, ai conti non ci pensiamo neanche. Per restare sulle generali, partiamo da una “semplice” equazione differenziale in grado di descrivere un processo stocastico: $dX = a(X,t)dt + b(X,t)dW$. Questo "mostro" non è altro che la generalizzazione della $d\nu = -\gamma\nu dt + \sigma dW$, parente stretta dell'$equazione$ $di$ $Langevin$. Per tornare un attimo con i piedi per terra, l’equazione di Langevin descrive il moto browniano di una particella in un fluido avente viscosità $\gamma$; $\sigma$, qui, rappresenta l'$ampiezza$ della forza (stocastica) agente sulla particella. L’equazionaccia scritta sopra è solo una generalizzazione di questo aggeggio, semplicemente alcune costanti sono diventate delle funzioni del tempo. Come vi dicevamo, non vi chiediamo di risolverla: la cosa è comunque possibile, sotto condizioni per le funzioni $a$ e $b$ che un matematico considererebbe molto restrittive ma che il resto del mondo (dai fisici in avanti, per intenderci) giudica sostanzialmente compatibili con la realtà fattuale. Esiste gente che si è posta il problema inverso: ossia, se abbiamo un dato processo $X(t)$ che genera un processo stocastico $Z(t) = F(X(t),t)$ quale sarà l’equazione che riesce a descriverlo? Sarete felici di sapere che $\textbf{Itô}$ ci è arrivato: l’equazione è, evidentemente, la $\textbf{formula}$ $\textbf{di}$ $\textbf{Itô}$:
$$dF = \left [ \frac{\partial F}{\partial t} + a(X,t)\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{1}{2}b^2(X,t)\frac{\partial^2F}{\partial x^2}\right ]dt + b(X,t)\frac{\partial F}{\partial x}dW$$Tranquilli, non morde. La parte dentro parentesi quadre nasce dallo sviluppo in serie di Taylor di $F$, quindi ha l’aria complicata, ma non lo è (troppo). Rinfrancati da queste equazioncelle, torniamo a giocare in Borsa. Il processo che intendiamo analizzare deve sottostare a due condizioni fondamentali e ad alcune secondarie: attenti che la prima è complicata.
Ossia in parole povere: 1) partite senza un euro, 2) o con il deposito in banca o attraverso l’arbitraggio, nella peggiore delle ipotesi vi restano gli stessi soldi, 3) se azzeccate il tempo giusto (il $tempo$ $di$ $arbitraggio^1$) ci sono buone probabilità di guadagnarci.. Raggiunta la tranquillità economica, possiamo occuparci di teoria; cambiamo completamente discorso. Lavoreremo molto per definizioni, ai conti non ci pensiamo neanche. Per restare sulle generali, partiamo da una “semplice” equazione differenziale in grado di descrivere un processo stocastico: $dX = a(X,t)dt + b(X,t)dW$. Questo "mostro" non è altro che la generalizzazione della $d\nu = -\gamma\nu dt + \sigma dW$, parente stretta dell'$equazione$ $di$ $Langevin$. Per tornare un attimo con i piedi per terra, l’equazione di Langevin descrive il moto browniano di una particella in un fluido avente viscosità $\gamma$; $\sigma$, qui, rappresenta l'$ampiezza$ della forza (stocastica) agente sulla particella. L’equazionaccia scritta sopra è solo una generalizzazione di questo aggeggio, semplicemente alcune costanti sono diventate delle funzioni del tempo. Come vi dicevamo, non vi chiediamo di risolverla: la cosa è comunque possibile, sotto condizioni per le funzioni $a$ e $b$ che un matematico considererebbe molto restrittive ma che il resto del mondo (dai fisici in avanti, per intenderci) giudica sostanzialmente compatibili con la realtà fattuale. Esiste gente che si è posta il problema inverso: ossia, se abbiamo un dato processo $X(t)$ che genera un processo stocastico $Z(t) = F(X(t),t)$ quale sarà l’equazione che riesce a descriverlo? Sarete felici di sapere che $\textbf{Itô}$ ci è arrivato: l’equazione è, evidentemente, la $\textbf{formula}$ $\textbf{di}$ $\textbf{Itô}$:
$$dF = \left [ \frac{\partial F}{\partial t} + a(X,t)\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{1}{2}b^2(X,t)\frac{\partial^2F}{\partial x^2}\right ]dt + b(X,t)\frac{\partial F}{\partial x}dW$$Tranquilli, non morde. La parte dentro parentesi quadre nasce dallo sviluppo in serie di Taylor di $F$, quindi ha l’aria complicata, ma non lo è (troppo). Rinfrancati da queste equazioncelle, torniamo a giocare in Borsa. Il processo che intendiamo analizzare deve sottostare a due condizioni fondamentali e ad alcune secondarie: attenti che la prima è complicata.
- Ci sono due $asset$, il conto in banca $ \textbf{B}$ e le azioni $ \textbf{S}$, governate dalle equazioni: $$\left\{\begin{aligned}& dB = rBdt\\& dS = \mu Sdt + \sigma SdW\end{aligned}\right.$$ Dove $r$ è l'interesse bancario, $\mu$ è il valore medio delle nostre azioni, $\sigma$ è la $volatilità$ e $W(t)$ è un processo casuale di $moto$ $browniano$ ($o$ $processo$ $di$ $Wiener$).
- Il mercato non ammette arbitraggio
- C’è sempre qualcuno disposto a comprare le azioni
- Non ci sono costi di transazione
- È permesso “andare corti” per importi illimitati e per periodi illimitati di tempo.
- L’interesse bancario non varia e le azioni non pagano dividendi
Lasciamo perdere le $\left [2-6 \right]$, che sono ragionevolmente logiche: la grande idea, nella prima condizione, è di associare un $random$ $walk$ di tipo browniano alla variazione casuale delle azioni: e oggetti di questo genere sappiamo trattarli, se Itô è così gentile da darci una mano. Supponiamo di avere una $call$ $option$ $C(S,t)$ comprata ad uno $strike$ $price$ $\textbf{K}$ su un'azione $\textbf{S}$; possiamo azzardare l’ipotesi che il suo valore segua allora la formula di Itô e descrivere le sue variazioni come: $$dC = \left [ \frac{\partial C}{\partial t} + \mu S\frac{\partial C}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2C}{\partial S^2}\right ]dt + \sigma S\frac{\partial C}{\partial S}dW$$ In cui rispetto a prima abbiamo posto $a = \mu S$ e $b = \sigma S$. Riprendiamo il portfolio dell’altra volta, composto da una posizione lunga sull'opzione e da uno $short$ su un numero $\Delta$ di azioni; il valore delle azioni allora è: $\Pi(t) = C(S,t) - \Delta S$. Ricordiamoci che il nostro portfolio deve auto-finanziarsi (siamo partiti senza soldi), e quindi deve avere una dinamica del tipo: $d\Pi = dC - \Delta dS$ e usando la $\textbf{formula}$ $\textbf{di}$ $\textbf{Itô}$, otteniamo: $$d\Pi = \left [ \frac{\partial C}{\partial t} + \mu S\frac{\partial C}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2C}{\partial S^2} - \mu \Delta S\right ]dt + \sigma S\left (\frac{\partial C}{\partial S} - \Delta\right)dW$$ Che cerchiamo di semplificare. Per prima cosa, ricordiamoci che non vogliamo correre rischi: questo significa che devono sparire tutti i termini che contengono il parametro $dW$, ossia dobbiamo avere: $\Delta = \frac{\partial C}{\partial S}$. Essendo ora il nostro portfolio senza rischi, deve avere un rendimento pari a quello del conto in banca, ossia deve essere $d\Pi = r\Pi dt$. Inserendo queste due condizioni nella formula di Itô, otteniamo l'$\textbf{equazione}$ $\textbf{di}$ $\textbf{Black}$$\textbf{-}$$\textbf{Scholes}$: $$\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2C}{\partial S^2} + rS\frac{\partial C}{\partial S} - rC = 0$$ Siccome non vogliamo perdere soldi, quest'equazione va risolta con la condizione al contorno $C(S,T) = max (S-K , 0)$. La grande idea di Black e Scholes è stata di effettuare un cambiamento di variabili piuttosto complesso$^2$ che trasforma il tutto in un’equazione semplicissima: $$\frac{\partial u}{\partial \tau} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$ Che sappiamo risolvere, visto che non è altro l'$equazione$ $di$ $propagazione$ $del$ $calore$. Ed ecco qui il risutato finale: se $N$ è la funzione di distribuzione cumulativa di una variabile gaussiana normalizzata, ossia se: $$N(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x} e^{\frac {\Large s^2}{2}}\, ds$$ e se indichiamo con $$d_{\;1,2} = \frac{\ln \left(\frac{S}{K}\right) + \left(r \pm \frac{\large \sigma^2}{2}\right)\left(T- t \right)}{\sigma \sqrt{T-t}}$$ abbiamo in definitiva: $$C(S,t) = SN(d_{1}) - Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})$$ Vi renderete conto che una formula del genere può portare molto lontano (in un qualsiasi punto tra San Vittore e le Seychelles, estremi inclusi); nel caso del secondo estremo, tanti auguri!
Legenda
- Prima che vi vengano strane idee: il tempo di arbitraggio varia tra qualche secondo e pochi minuti.
- Forse sarà trattato nel prossimo articolo....
Bibliografia
- Theory of Speculation - Louis Bachelier
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